Modelos Matemáticos (Mathematical Models, Spanish only)

Antes de poder escribir un programa para satisfacer una necesidad es necesario construir un modelo matemático para representar simbólicamente los elementos de la situación o problema que deseamos automatizar. En este articulo se presentan algunos modelos matemáticos y ejercicios como una practica preliminar para desarrollar las destrezas programáticas que después serán necesarias.

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Antes de leer este artículo se recomienda haber leído Sucesiones y Series.

Índice

1. Modelos Lineales
2. Modelos Inversamente Proporcionales
3. Modelo Exponencial
4. Modelos Recursivos
5. Modelos Matemáticos

1. Modelos Lineales

   1. Definición

      Relacionan dos o mas variables en forma directamente proporcional. Todos los modelos que corresponden a procesos lineales (proporcionalidad directa), tienen como representación una línea recta.

      La ecuación general es de la forma: y = kx
       

   2. Ejemplos

      1. Conversión de Medidas (libras -> kilogramos): Se quiere hacer una tabla de conversión de libras a kilogramos. Se sable que 2.2 libras equivalen a 1 kilogramo. Cuantos kilogramos son 10 libras?
          
      2. Cambio de la moneda: se quiere cambiar dólares por coronas oro (monedas de un país lejano llamado CORN COUNTRY). Llega al banco con 100 dólares y encuentra que la tabla de conversión del día es: 1 dólar equivale a 123.15 coronas oro. Cuantas coronas oro son 200 dólares?
          
      3. Modificación del problema de cambio de la moneda (con tablas para diferentes rangos):

         Dólares	Coronas Oro
         de 1 a 500	123.15
         de 501 a 2,000	124.00
         de 2,001 a 10,000	125.35
         de 10,001 a 20,000	128.00
         mas de 20,000	hablar con gerente

         Por lo general el modelo no es siempre lineal, es decir el modelo tiene un rango donde es valido.
          

      4. Crecimiento de la Araucaria (fenómenos naturales lineales dentro de un periodo de tiempo): supongamos que existe una especie de araucaria que en el clima tropical de nuestro país crece un metro quince centímetros cada ano. Construya una tabla y una grafica que represente el modelo. Es esto realista?
          
      5. Modificación del problema del crecimiento de la Araucaria: el crecimiento se da con respecto a esta tabla:

         Edad	Crecimiento
         de 0 a 1 ano	0.23 cm por mes
         de 1 a 50 anos	1.15 metros al ano
         mas de 50 anos	ya no crece

 

2. Modelos Inversamente Proporcionales

   1. Definición

      Relaciona dos o mas variables con la característica que cuando una de ellas crece la otra decrece. Los modelos matemáticos tienen su rango de acción. Se puede usar la regla de tres inversa.

      La ecuación general es de la forma: y=k/x
       

   2. Ejemplos

      1. Oferta-Precio: considere el caso de la venta de maíz en CORN COUNTRY, cuando es el tiempo de la cosecha el precio baja, conforme se escasea el producto el precio sube. Si hay mucha oferta, el precio baja y si disminuye la oferta el precio sube.
          
      2. Construcciones: una empresa calcula que para construir un edificio de 10 pisos, y 350 metros cuadrados de área de cada piso, necesita aproximadamente 50 albañiles que terminaran la obra en 18 meses. El contratista necesita terminar la obra en 12 meses, cuantos albañiles necesita? Cuanto tiempo utilizaran en construir la misma obra, un millón de trabajadores?

 

3. Modelo Exponencial

   1. Definición

      Son modelos de crecimiento muy rápido, en donde una de las variables relacionadas es el exponente de una constante llamada base.

      La ecuación general es y=b^x
       

   2. Población de Bacterias: un laboratorio químico farmacéutico esta desarrollando una nueva formula. Han determinado que las bacterias que utilizaran se reproducen por bipartición cada 10 minutos. Se inicia un campo de cultivo con una bacteria a las 14:00, entonces a las 14:10 existen 2 bacterias, a las 14:20 existen 4. Por observación en el microscopio, se concluyó que a las 19:00 horas en punto, el campo tiene llena la mitad de su capacidad. A que hora se llena el campo de cultivo, si se inicio a las 14:00?

    

4. Modelos Recursivos

   1. Definición

      Son modelos en que una variable esta en función del estado anterior de ella misma y todos estos estados, en función de un valor inicial.
       

   2. Ejemplos

      1. Alcanzando la luna: Imagine que tiene una hoja de papel tan grande como quiera y que puede doblar la hoja por la mitad tantas veces como quiera. Cuantas veces tendrá que doblar una hoja, de manera que la espesura obtenida pueda cubrir la distancia tierra-luna ? La distancia de la tierra a la luna es de 380,000 km. La espesura de una hoja de papel es de 0.1 mm.
          
      2. Definiendo un Moser
          
      3. Función Factorial: se define la función factorial, en el conjunto de los enteros no negativos, como:

         0! = 1
         &
         n! = n * (n-1)!
          

      4. Volumen de un Átomo de Carbono: cuantas veces será necesario cortar por la mitad un cubo de azúcar de 1 cm de arista, para obtener un volumen de azúcar que no supere al átomo de carbono ? El radio del átomo de carbono es de 0.75 x 10^-7 mm.
          
      5. La plaga de Langostas: una plaga de langostas surge en los lugares mas diversos y en proporción gigantesca. Sabiendo que un metro cuadrado de terreno puede ser devastado por 75 langostas y que cada langosta femenina produce 300 huevos a lo largo de su vida. A partir de una pareja de langostas, que generación tendría un numero suficiente de langostas para devastar la superficie de la tierra ? Parta del principio que la mitad de los huevos originan hembras. La superficie cultivable de la tierra es 32 millones de kilómetros cuadrados. Considere que en promedio las langostas viven tres generaciones.

    

5. Modelos Matemáticos

   Es cualquier conjunto de ecuaciones o estructuras matemáticas, completo y consistente, que es elaborado para corresponder a alguna otra entidad. Puede ser una entidad: física, biológica, social, psicológica o conceptual, incluso otro modelo matemático. La construcción de un modelo matemático cumple con un mínimo de objetivos:

   1. Obtener respuestas sobre lo que sucederá en el mundo físico
   2. Influir en la experimentación u observaciones posteriores
   3. Promover el progreso y la comprensión conceptuales
   4. Auxiliar a la axiomatización de la situación física

Siguiente articulo que se recomienda leer: Estrategias de Resolución de Problemas.

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